88-Some geometrical measure theorems

Some geometrical measure theorems

சிலவடிவியல்அளவுத்தெளிவுகள்(theorems) !
------------------------------------------------------------------
பொது(1)

 ஒரு இடத்தை அடைக்கின்ற அதன் சுற்றுக்கோடு (describing line)
அதாவது சுற்றளவு (perimeter) ஒரே அளவாக இருந்தாலும், வேறு
வேறு வடிவங்களில் அமைந்த அந்த இடங்களின் பரப்பளவுகள்
(areas)  வேறுபடுகின்றன.

proof (நிரூபணம்)
அனைத்து உருவங்களின் சுற்றளவுகளும்  ஒரே மாதிரியாக
12   அலகுகள் என்று  வைத்துக் கொள்வோம்!

rectangle (நீள்சதுரம்)

perimeter=2l+2b=12

l+b=12÷2=6
let the l be =4

4+b=6

b=6-4=2

area=l×b=4×2=8

area=8 units

square (சதுரம்)                                                  

perimeter=4a=12

a=12/4=3

area=a×a=3×3=9

area=9 units
சதுரத்தின் பரப்பளவு நீள்சதுரத்தின்
பரப்பளவைவிடஅதிகம்.

square (சதுரம்)                                                  

perimeter=4a=12

a=3

area=a×a=3×3=9

area=9 units
Ellipse(நீள்வட்டம்)

2a=4.70, 2b=2.68

So-a=2.35; b=1.34

Perimeter=2π×√((a×a)+(b×b)) /2

=2×22/7×√( (2.35×2.35)+(1.34×1.34))/2

=2×22/7×√((5.5225+1.7956))/2

=2×22/7×√(7.3181/2)

=2×22/7×√3.65905

=2×22/7×1.91286

perimeter=12.023

area=πab                                                  

=π×2.35×1.34=9.892

Area=9.892 units
நீள்வட்டத்தின் பரப்பளவு ,சதுரத்தின் 
பரப்பளவைவிட அதிகம்.
Ellipse(நீள்வட்டம்)

2a=4.70, 2b=2.68

So-a=2.35; b=1.34

Perimeter=2π×√((a×a)+(b×b))/2

=2×22/7×√( (2.35×2.35)+(1.34×1.34))/2

=2×22/7×√((5.5225+1.7956))/2

=2×22/7×√(7.3181/2)

=2×22/7×√3.65905

=2×22/7×1.91286

perimeter=12.023

area=πab                                                    

=π×2.35×1.34=9.892

Area=9.892 units

Circle (வட்டம்)
cicumference=πd=12

D=12/π=12×7/22=3.818

Area=(πd×d)/4

=(22/7×3.818×3.818)/4=11.453

area=11.453
வட்டத்தின் பரப்பளவு நீள்வட்டத்தின்
பரப்பளவைவிட அதிகம்.
அனைத்து உருவங்களின் சுற்றளவுகளும் ஒன்றே

எனினும் அவற்றின் பரப்பளவுகள் வேறுபடுகின்றன.

பொது 2)

சுற்றளவுகள் ஒன்றாக அமைந்திருந்தாலும் ,ஒரு  இடத்தை
அடைக்கின்ற அதன்  சுற்றுக் கோடு, விரைவான திருப்பங்க
ளுடன் fast turns), குறுகிய வளை கோடாக அல்லது நேர்கோடாக
(either short curved or straight line) இருந்தால், பரப்பளவு(area) அதிக
மாகவும், மெதுவான திருப்பங்களுடன்(slow turns) நீண்ட வளை
கோடாக அல்லது நேர்கோடாக (either long curved or straight line)
இருந்தால், பரப்பளவு குறைவாகவும் இருக்கும்.
அதன்படி

proof (நிரூபணம்)
a.
ஒரு சுற்றளவில் அமைந்த ஒரு சதுரத்தின்(square) பரப்பளவு ,
அதே சுற்றளவில் அமைந்த நீள்சதுரத்தின் (rectangle) பரப்பள
வைவிட  அதிகமாக இருக்கும் .
rectangle (நீள்சதுரம்-slow turn)

2l+2b=12

l+b=12÷2=6
let the l be=4

4+b=6

b=6-4=2

area=l×b=4×2=8

area=8 units

square (சதுரம்-fast turn)

4a=12

a=3

area=a×a=3×3=9

area=9 units

சதுரத்தின் பரப்பளவு நீள்சதுரத்தின்
பரப்பளவைவிட அதிகமாக இருப்பதைக் 
காண்கிறோம்..

proof (நிரூபணம்)

b
அதைப்போல, ஒரு சுற்றளவில் அமைந்த ஒரு வட்டத்தின்

(circle) பரப்பளவு அதே சுற்றளவில் அமைந்த நீள்வட்டத்தின்
(ellipse) பரப்பளவை விட அதிகமாக இருக்கும் .

Ellipse(நீள்வட்டம் slow turn)

2a=4.70, 2b=2.68

So-a=2.35; b=1.34

Perimeter=2π×√ ((a×a)+(b×b))/2

=2×22/7×√( (2.35×2.35)+(1.34×1.34))/2

=2×22/7×√((5.5225+1.7956))/2

=2×22/7×√(7.3181/2)

=2×22/7×√3.65905

=2×22/7×1.91286

perimeter=12.023

area=πab                                                    

=π×2.35×1.34=9.892

Area=9.892 units

Circle (வட்டம் fast turn)

cicumference=πd=12

D=12/π=12×7/22=3.818

Area=(πd×d)/4

=(22/7×3.818×3.818)/4=11.453

area=11.453

வட்டத்தின் பரப்பளவு நீள்வட்டத்தின்
பரப்பளவைவிட அதிகமாக இருப்பதைக் 
காண்கிறோம் .

proof (நிரூபணம்)

c.

இரு சம பக்க முக்கோணங்களிலும் ,சம பக்கங்கள் அதிக நீளத்தில் 

(5+5+2)  (slow turns) இருக்கும்போது பரப்பு குறைவாகவும் , குறைந்த 

நீளத்தில் (4.5+4.5+3)(fast turns) இருக்கும்போது ,பரப்பு அதிகமாகவும் 

இருக்கும்.

Triangles(முக்கோணங்கள் )

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,
நீளம் அதிகம்  )-1

3a=5+5+2=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-5=1, s-b=6-5=1, s-c=6-2=4                                

√6×1×1×4=√24=4.899
Area=4.899 units(பரப்பு குறைவு)

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,
நீளம் குறைவு )-2

3a=4.5+4.5+3=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-4.5=1.5;s-b=6-4.5=1.5;s-c=6-3=3.

√6×1.5×1.5×3=√40.5=6.363

Area=6.363 units (பரப்பு அதிகம்)
இரு சம பக்க முக்கோணங்களிலும் ,சம பக்கங்கள் அதிக நீளத்தில் 

(5+5+2)  (slow turns) இருக்கும்போது பரப்பு குறைவாகவும் , குறைந்த 

நீளத்தில் (4.5+4.5+3)(fast turns) இருக்கும்போது ,பரப்பு அதிகமாகவும் 

இருப்பதைக் காண்கிறோம்  

proof (நிரூபணம்)
d

சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ,இருசமபக்க
முக்கோணங்களின் பரப்பளவைவிட அதிகம்.
Equilateral triangle(சமபக்க முக்கோணம்)

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,
நீளம் அதிகம்  )-1

3a=5+5+2=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-5=1, s-b=6-5=1, s-c=6-2=4                              

√6×1×1×4=√24=4.899
Area=4.899 units

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,
நீளம் குறைவு )-2

3a=4.5+4.5+3=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-4.5=1.5;s-b=6-4.5=1.5;s-c=6-3=3.

√6×1.5×1.5×3=√40.5=6.363

Area=6.363 units

3a=12

a=12/3=4

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-4=2,s-b=6-4=2,s-c=6-4=2

=√6×2×2×2=√48=6.928

Area=6.928 units
சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ,இருசமபக்க 
முக்கோணங்களின் பரப்பளவைவிட அதிகமாக 
இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

proof (நிரூபணம்)
e

இரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள் அதிக நீளத்தில் 

(5) இருக்கும்போது ,அதன் பரப்பளவு ,அசமபக்க முக்கோணத்
தின் பரப்பளவைவிட ,குறைவாக  இருக்கும் .
 Unequal sided triangle(அசமபக்க முக்கோணம்)

3a=3+4+5=12

Area=1/2 bh

=1/2×3×4=6

Area=6 units

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,
நீளம் அதிகம்  )-1

3a=5+5+2=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-5=1, s-b=6-5=1, s-c=6-2=4

√6×1×1×4=√24=4.899
Area=4.899 units(பரப்பு குறைவு)
இரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள் அதிக நீளத்தில் 

(5) இருக்கும்போது ,அதன் பரப்பளவு ,அசமபக்க முக்கோணத்
தின் பரப்பளவைவிட ,குறைவாக  இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

proof (நிரூபணம்).   

f
இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள், குறைவான 
நீளத்தில் (4.5) இருக்கும் போது அதன் பரப்பளவு, அசமபக்க

முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விட அதிகமாக  இருக்கும். .
Unequal sided triangle(அசமபக்க முக்கோணம்)
3a=3+4+5=12

Area=1/2 bh

=1/2×3×4=6

Area=6 units

Isosceles triangle(இருசமபக்க முக்கோணம்,நீளம் குறைவு )-2

3a=4.5+4.5+3=12

Area=√s×(s-a)(s-b)(s-c)

S=12/2=6

s-a=6-4.5=1.5;s-b=6-4.5=1.5;s-c=6-3=3.

√6×1.5×1.5×3=√40.5=6.363
Area=6.363 units (பரப்பு அதிகம்)
இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள், குறைவான 

நீளத்தில் (4.5) இருக்கும் போது அதன் பரப்பளவு, அசமபக்க

முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விட அதிகமாக  இருப்பதைக் 
காண்கிறோம்.. .

proof (நிரூபணம்)

g

ஒரே சுற்றளவாக இருந்தாலும்  அதிக பக்கங்களைக் கொண்ட
ஒரு ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் பரப்பளவு, குறைந்த பக்கங்
களைக் கொண்ட ஒழுங்குப்  பலகோணத்தின் பரப்பளவை விட
அதிகமாக இருக்கும்
.Pentagon (ஐங்கோணம்)

This contains five equal sides

Let us draw straight lines from

each ends of the sides to the centre.(O)

We get 5 equal, isoceles triangles.

Angle of crest=360/5=72

Let the side be, =12/5=2.4 units

the units of the equal side=the radius of the circle

angle of crest=72deg (at the centre)

let us take one of the triangle

and name it as OAB

O is centre

OA and OB=equal sides (radius)

AB=base

Draw a perpendicular from O to C at AB

At right angled triangle OCB,

OC(perpendicular)=adjacent side

CB=opposite side (base)=2.4/2=1.2

OB=hypotenuse

angleO=72/2=36 deg

tan36=opp s/adj.s=base/adj.s

=tan36=1.2/adj.s=0.7265=1.2/adj.s

Adj.s=1.2/0.7265=height=1.651

At triangle OAB,

Base=2.4 and height=1.651

Area of one triangle=1/2bh=1/2×2.4×1.651=1.982

So, area of 5 triangles=1.982×5=9.910

Area of pentagon=9.910 units

hexagon (அறுகோணம்)

This contains six equal sides

Let us draw straight lines from

each ends of the sides to the centre.(O)

We get 6 equal, triangles.

Let the side be, =12/6=2.00 units

angle of crest=360/6=60deg (at the centre)

let us take one of the triangle

and name it as OAB

O is centre

OA and OB=equal sides (radius)

AB=base

Draw a perpendicular from O to C at AB

At right angled triangle OCB,

OC(perpendicular)=adjacent side

CB=opposite side (base)=2.0/2=1.0

OB=hypotenuse

angleO=30 deg

tan30=opp s/adj.s=base/adj.s

=tan30=1.0/adj.s=0.5773

Adj.s=1.0/0.5773=height=1.732

At angle OAB,

AB=base=2

OC=height=1.732

Area=1/2bh=1/2×2×1.732=1.732

Area of one triangle= 1.732

So, area of 6 triangles=1.732×6=10.392

Area of hexagon=10.392 units

Octagon (எண்கோணம்)

This contains eight equal sides

Let us draw straight lines from

each ends of the sides to the centre.(O)

We get 8 equal, triangles.

Let the side be, =12/8=1.5 units

angle of crest=360/8=45 deg (at the centre)

let us take one of the triangle

and name it as OAB

O is centre

OA and OB=equal sides (radius)

AB=base

Draw a perpendicular to AB at C

At right angled triangle OCB,

OC(perpendicular)=adjacent side

CB=opposite side (base)=1.5/2=0.75

OB=hypotenuse

Angle O=45/2=22.5 deg

Tan22.5=opp s/adj.s=base/adj.s

=tan22.5=0.75/adj.s=0.4142

Adj.s=0.75/0.4142=height=1.810

At angle OAB,

AB=base=1.5

OC=height=1.810

Area=1/2bh=1/2×1.5×1.810=1.3579

Area of one triangle= 1.3579

So, area of 8 triangles=1.3579×8=10.8639

Area of octagon=10.8639 units

 ஒரே சுற்றளவாக இருந்தாலும்  அதிக பக்கங்களைக் கொண்ட

ஒரு ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் பரப்பளவு, குறைந்த பக்கங்
களைக் கொண்ட ஒழுங்குப்  பலகோணத்தின் பரப்பளவை விட

அதிகமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்...